20 % Schwankung plus 30 % Schwankung ergeben im Depot nur dann 25 %, wenn die Korrelation der Aktien genau eins beträgt. Bei zwei Aktien, die je zur Hälfte gewichtet sind, kann dieser Gleichlauf das Ergebnis zwischen 25,00 % und 5,00 % verschieben. Dieses Protokoll rechnet die fünf markantesten Fälle durch und bestimmt danach den Wert von ρ selbst, aus sechs synthetischen Renditepaaren, ohne Software.
Versuchsaufbau
- Frage
- Wie stark hängt die Schwankung eines Zwei-Werte-Depots vom Gleichlauf der beiden Werte ab, und wie berechnet man ihn?
- Werte
- Aktie X: σ = 20 % pro Jahr. Aktie Y: σ = 30 % pro Jahr. Gewichte je 50 %.
- Veränderliche Größe
- Korrelationskoeffizient ρ von +1 bis −1.
- Zweiter Teil
- Sechs synthetische Periodenrenditen je Aktie, ρ von Hand berechnet.
Ablauf, Teil 1: die Formel mit fünf Werten für ρ
σ²(Depot) = w₁² σ₁² + w₂² σ₂² + 2 w₁ w₂ ρ σ₁ σ₂Mit w₁ = w₂ = 0,5, σ₁ = 0,20 und σ₂ = 0,30 werden die ersten beiden Summanden zu 0,01 und 0,0225. Der dritte Summand beträgt 0,03 × ρ. Nur dieser Teil hängt von ρ ab.
| ρ | Varianz | Schwankung pro Jahr | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| +1,0 | 0,0625 | 25,00 % | bewegen sich immer gleich, kein Ausgleich |
| +0,5 | 0,0475 | 21,79 % | teilweise gemeinsam |
| 0,0 | 0,0325 | 18,03 % | kein linearer Zusammenhang |
| −0,5 | 0,0175 | 13,23 % | teilweise gegenläufig |
| −1,0 | 0,0025 | 5,00 % | immer gegenläufig |
Nur bei ρ = +1 entspricht die Depotschwankung dem gewichteten Durchschnitt der Einzelschwankungen, also 25 %. In jedem anderen Fall liegt sie darunter. Dieser Abstand ist der Streuungseffekt.
Ablauf, Teil 2: eine Korrelation von Hand
Die Korrelation misst, wie oft und wie stark zwei Reihen gleichzeitig über oder unter ihrem eigenen Durchschnitt liegen. Für sechs synthetische Perioden genügen vier Spalten.
- Durchschnitte bilden: X im Mittel 0,5 %, Y im Mittel 0,333 %.
- In jeder Periode die Abweichung vom Durchschnitt berechnen.
- Die Abweichungen paarweise multiplizieren und aufsummieren.
- Diese Summe durch die Wurzel aus dem Produkt der quadrierten Abweichungssummen teilen.
| Periode | X | Y | X − Mittel | Y − Mittel | Produkt |
|---|---|---|---|---|---|
| P1 | 2,0 % | 1,0 % | 1,500 | 0,667 | 1,000 |
| P2 | −1,0 % | −2,0 % | −1,500 | −2,333 | 3,500 |
| P3 | 3,0 % | 2,0 % | 2,500 | 1,667 | 4,167 |
| P4 | −2,0 % | 1,0 % | −2,500 | 0,667 | −1,667 |
| P5 | 1,0 % | −1,0 % | 0,500 | −1,333 | −0,667 |
| P6 | 0,0 % | 1,0 % | −0,500 | 0,667 | −0,333 |
| Summe | 3,0 % | 2,0 % | 0,000 | 0,000 | 6,000 |
Die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt für X 17,5 und für Y 11,333. Damit ergibt sich:
ρ = 6,000 ÷ √(17,5 × 11,333) = 6,000 ÷ 14,083 ≈ 0,43Auswertung
Für die sechs Renditepaare ergibt sich ρ ≈ 0,43. In P1 bis P3 liegen beide Reihen gemeinsam über oder unter ihrem Durchschnitt, und zwar deutlich; in P4 bis P6 laufen sie auseinander, aber schwächer. Die positiven Produkte summieren sich auf 8,667, die negativen auf −2,667. Setzt man 0,43 in die Formel aus Teil 1 ein, ergibt sich eine Varianz von 0,0325 + 0,03 × 0,43 = 0,0454 und eine Schwankung von rund 21,3 %. Das ist weniger als die 25 % bei vollständigem Gleichlauf, aber deutlich mehr als bei unabhängigen Werten.
Das Gleichlaufmaß ρ sagt dabei nichts über die Stärke der Schwankung selbst. Zwei sehr ruhige Werte können ρ = 1 haben, zwei sehr unruhige ein ρ nahe null. Es beschreibt nur das gemeinsame Muster.
Gegenprobe: eine einzige Periode tauschen
Werden in P4 die Vorzeichen von Y umgedreht, also −1,0 % statt 1,0 %, verschiebt sich der Mittelwert von Y auf 0 %, und das Produkt in P4 wird positiv. Neu gerechnet ergibt sich ρ ≈ 0,76. Eine einzige geänderte Periode lässt den gemessenen Wert also um rund drei Viertel steigen. Bei sechs Datenpunkten ist jede Schätzung entsprechend wacklig.
Was sich übertragen lässt
- Der Streuungseffekt entsteht ausschließlich über den Summanden mit ρ.
- Ein ρ unter +1 genügt, damit die Depotschwankung unter dem Durchschnitt der Einzelschwankungen liegt.
- Geschätzte Korrelationen reagieren empfindlich auf einzelne Perioden und auf die Länge der Datenreihe.
Offene Fragen und Prüfwege
Ungeklärt bleibt, welche Korrelation für einen künftigen Zeitraum gilt. Die Forschung zeigt, dass sie sich verschiebt: Campbell, Lettau, Malkiel und Xu fanden für US-Aktien im Zeitraum 1962 bis 1997, dass die Korrelationen zwischen einzelnen Aktien abnahmen, während die unternehmensspezifische Schwankung im Verhältnis zur Marktschwankung zunahm. Wer einen geschätzten Wert für ρ verwendet, sollte deshalb angeben, aus welchem Zeitraum und welcher Datenfrequenz er stammt, und prüfen, wie stark er sich zwischen Teilzeiträumen unterscheidet.
Quellen und Stand
- Campbell, J. Y., Lettau, M., Malkiel, B. G., Xu, Y. (2001): Have Individual Stocks Become More Volatile? An Empirical Exploration of Idiosyncratic Risk, Journal of Finance 56 (1), S. 1 bis 43; Zusammenfassung abgerufen am 06.10.2026
- Alle Renditen und Schwankungen: synthetische Versuchsdaten