„Wer breit streut, hat kein Risiko mehr“: Dieser Satz hält sich hartnäckig und ist falsch. Streuung entfernt nur einen bestimmten Teil der Schwankung, das unsystematische Risiko, das an einzelnen Unternehmen hängt. Der andere Teil, das systematische Risiko, betrifft alle Werte zugleich und bleibt. Das Protokoll macht diese Trennung mit einer einzigen Formel sichtbar und zeigt, wo die Untergrenze liegt.
Versuchsaufbau
- Frage
- Wie verändert sich die Schwankung eines gleichgewichteten Depots, wenn die Zahl der Titel steigt?
- Annahmen
- Jede Aktie: Standardabweichung σ = 30 % pro Jahr. Jedes Paar: Korrelation ρ = 0,3. Gewicht je Titel 1 ÷ N.
- Messgröße
- Standardabweichung des Depots pro Jahr.
- Werkzeug
- Varianzformel für gleich gewichtete Portfolios mit gleichen Einzelrisiken.
Ablauf
Unter den Annahmen des Aufbaus lässt sich die Depotvarianz in zwei Summanden zerlegen. Der erste schrumpft mit jeder zusätzlichen Aktie, der zweite nicht.
σ²(Depot) = σ² × (1 − ρ) ÷ N + σ² × ρ
unsystematisch systematischMit σ = 0,30 und ρ = 0,3 ist der systematische Teil 0,09 × 0,3 = 0,027. Seine Wurzel, 16,43 %, ist die kleinste Schwankung, die dieses Depot je erreichen kann. Für zehn Titel ergibt sich eine Varianz von 0,0333, davon sind 0,027 oder rund 81 % systematisch.
| Titel N | ρ = 0,3 | Gegenprobe ρ = 0 | Gegenprobe ρ = 0,6 |
|---|---|---|---|
| 1 | 30,00 % | 30,00 % | 30,00 % |
| 2 | 24,19 % | 21,21 % | 26,83 % |
| 5 | 19,90 % | 13,42 % | 24,74 % |
| 10 | 18,25 % | 9,49 % | 24,00 % |
| 20 | 17,36 % | 6,71 % | 23,62 % |
| 50 | 16,81 % | 4,24 % | 23,39 % |
| 100 | 16,62 % | 3,00 % | 23,32 % |
| Grenzwert | 16,43 % | 0,00 % | 23,24 % |
Auswertung: wie weit unsystematisches Risiko schrumpft
Der Rückgang ist anfangs steil und wird schnell flach. Von einem auf zwei Titel sinkt die Schwankung um 5,81 Prozentpunkte, von 50 auf 100 Titel nur noch um 0,19 Punkte. Was übrig bleibt, ist der systematische Teil: Er entsteht, weil alle Aktien gemeinsam auf Zinsen, Konjunktur oder Stimmung reagieren. Gegen diesen gemeinsamen Anteil hilft keine weitere Aktie derselben Art, denn jede neue Aktie bringt ihn wieder mit.
Das unsystematische Risiko ist dagegen der Teil, der nur ein Unternehmen betrifft, etwa ein misslungenes Produkt oder ein Rechtsstreit. Solche Ereignisse gleichen sich in einem breiten Depot teilweise aus, weil sie nicht alle Unternehmen gleichzeitig treffen.
Gegenprobe: die Korrelation verändern
Wird die Korrelation auf null gesetzt, verschwindet der systematische Summand. Dann fällt die Schwankung mit 30 % ÷ √N immer weiter, bei 100 Titeln auf 3,00 %. Dieser Fall beschreibt Aktien, die völlig unabhängig voneinander schwanken, und ist für Aktien eines Marktes unrealistisch. Bei einer Korrelation von 0,6 liegt die Untergrenze dagegen bei 23,24 %, und schon zehn Titel kommen auf 24,00 %. Die Höhe der Untergrenze hängt also nicht von der Zahl der Titel ab, sondern allein davon, wie stark sich die Werte gemeinsam bewegen. Wie genau die Korrelation in die Rechnung eingeht, zeigt Protokoll B2 mit dem Rechenweg zur Korrelation.
Was sich übertragen lässt
- Streuung verringert nur den unternehmensspezifischen Teil der Schwankung.
- Der verbleibende systematische Teil hängt von der Korrelation ab, nicht von der Titelzahl.
- Die Wirkung jedes zusätzlichen Titels nimmt rasch ab, verschwindet aber nicht ganz, solange der unsystematische Summand größer als null ist.
Quellen und Stand
- Varianzformel für Portfolios: Standardlehrstoff der Statistik; alle Zahlen in diesem Protokoll sind synthetische Versuchsdaten, berechnet am 06.10.2026
- Zur empirischen Frage, wie viele Titel in echten Märkten nötig waren: Protokoll B3 zum Forschungsstand